Question

已知定义在R上的函数f（x）=-2x³+bx²+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x²是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．

Answer

（1）通过函数F（x）是奇函数先求出b，在利用函数f（x）在x=-1处取极值可得f′（-1）=0求得c，则函数解析式求得．
（2）先求导数fˊ（x），在区间[-3，3]内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
【解析】
（1）∵函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，
∴F（-x）=-F（x），化简计算得b=3．
∵函数f（x）在x=-1处取极值，∴f′（x）=0．
f（x）=-2x3+3x2+cx，f′（x）=-6x2+6x+c
∴f′（-1）=-6-6+c=0，c=12．
∴f（x）=-2x3+3x2+12x，
（2）f′（x）=-6x2+6x+12=-6（x2-x-2）．
令f′（x）=0，得x1=-1，x2=2，

∴函数f（x）在[-3，-1]和[2，3]上是减函数，
函数f（x）在[-1，2]上是增函数．