Question

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E为DB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；
（Ⅱ）若点F是线段BC上的动点，设平面PFE与平面PBE所成的平面角大小为θ，当θ在[0，]内取值时，直线PF与平面DBC所成的角为α，求tanα的取值范围．

Answer

（I）取BC得中点M，连接EM，AM，根据题意证出MA、MB、ME两两互相垂直，从而以MA、MB、ME为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB=BC=AC=DC=2，可得A、B、C、D、E、P、M各点的坐标，从而算出向量的坐标，计算它们的数量积得到0，即可证出AE⊥BC；
（II） 设F（0，y，0），且-1≤y≤1．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（0，1，1）是平面PBE的一个法向量；同样的方法算出=（0，y，-1）是平面PEF的一个法向量，利用空间向量的夹角公式结合θ∈[0，]建立不等式关系，算出0≤y≤1．而PF与平面DBC所成的角为α，满足，用同角三角函数的基本关系算出tanα=，结合0≤y≤1，可得tanα∈[，3]．
【解析】
取BC得中点M，连接EM，AM，
∵直角△BCD中，DC=BC，∴DC⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴DC⊥平面ABC
∵△BCD中，EM是中位线，∴EM∥DC，可得EM⊥平面ABC
∵AM是等边△ABC的中线，∴AM⊥BC
分别以MA、MB、ME为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB=BC=AC=DC=2，则
可得M（0，0，0），，B（0，1，0），C（0，-1，0），
D（0，-1，2），E（0，0，1），，
（Ⅰ）∵，
∴=0×+（-2）×0+0×1=0
由此可得，即AE⊥BC；------------------（6分）
（Ⅱ） 设F（0，y，0），且-1≤y≤1，
平面PBE的一个法向量为=（x1，y1，z1），
平面PEF的一个法向量为=（x2，y2，z2），又有：，
∴即，
取y1=1，得x1=0，z1=1，可得=（0，1，1）
又∵，∴取y2=1，得x2=0，z2=y，可得=（0，1，y），
又∵cos＜，＞=|cosθ|∈[，1]，θ∈[0，]
∴•=||•||cos＜，＞，可得≤≤1，解之得0≤y≤1，
又∵向量是平面DBC的一个法向量，且，，
且
∴tanα=，结合0≤y≤1，可得tanα∈[，3]-------------------------------------（14分）