(1)把点(an,an+1)代入函数式,整理得an+1+1=(an+1)2,两边取对数整理得,进而判断{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(2)根据等比数列的通项公式求的数列{lg(1+an)}的通项公式,进而求的an代入到Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)求的Tn.
(3)把(2)求的an代入到,用裂项法求和求得项,又,原式得证.
【解析】
(Ⅰ)由已知an+1=an2+2an,
∴an+1+1=(an+1)2
∵a1=2
∴an+1>1,两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an),
即
∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知lg(1+an)=2n-1•lg(1+a1)=
∴∴
∴Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)===
(Ⅲ)∵an+1=an2+2an
∴an+1=an(an+2)
∴
∴
又
∴
∴Sn=b1+b2++bn==
∵
∴
又
∴.