Question

设a₁=2，a₂=4，数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2，
（1）求证：数列{b_n+2}是等比数列（要指出首项与公比），
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）利用bn+1=2bn+2，构造数列{bn+2}，通过等比数列的定义，证明数列是等比数列；
（2）利用（1）求出数列bn=2n+1-2．通过bn=an+1-an，推出数列an的递推关系式，利用累加法求出数列的通项公式即可．
【解析】
（1）bn+1=2bn+2⇒bn+1+2=2（bn+2），
∵，又b1+2=a2-a1=4，
∴数列{bn+2}是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知bn+2=4•2n-1=2n+1．∴bn=2n+1-2．则an+1-an=2n+1-2
令n=1，2，…n-1，则a2-a1=22-2，a3-a2=23-2，…，an-an-1=2n-2，
各式相加得an=（2+22+23+…+2n）-2（n-1）=2n+1-2-2n+2=2n+1-2n．
所以an=2n+1-2n．