Question

如图在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=13，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，M为AC的中点．
（1）求证：PM⊥平面ABC；
（2）求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer

（1）作PO⊥平面ABC于点O，由PA=PB=PC，知O为△ABC的外心，由∠ABC=90°，知O为AC边的中点，即O与M点重合，由此能够证明PM⊥平面ABC；
（2）由（1）知PM⊥平面ABC，连结MB，则∠PBM就是直线BP与平面ABC所成的角，在直角三角形PBM中，利用边与角的关系即可求出答案．
（3）直接利用锥体的体积公式V=•S△ABC•PM即可得出答案．
证明：（1）作PO⊥平面ABC于点O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O为△ABC的外心
又∵△ABC中，∠ABC=90°，∴O为AC边的中点，
∴O与M点重合，
∴PM⊥平面ABC；
（2）连结MB，则∠PBM就是直线BP与平面ABC所成的角，
在直角三角形PBM中，PB=13，PM=12，BM=AC=5
∴tan∠PBM=；
（2）三棱锥P-ABC的体积V=•S△ABC•PM==96．