Question

（理科做）函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，向左平移一个长度单位后仍关于直线y=x对称，若f（1）=0，则f（2011）=（ ）
A．-2010
B．2010
C．-2011
D．2011

Answer

根据函数图象的对称性，在f（1）=0的基础上可以得出得出f（0）=1，再根据图象平移的关系，得出在y=g（x）=f（x+1）中，g（-1）=1，继而g（1）=-1，f（2）=-1，依次转化推导，得出结果．
【解析】
若一个函数图象关于直线y=x对称，则其图象上任意点（a，b）关于直线y=x的对称点（b，a）也在函数图象上．
由已知f（1）=0，即（1，0）是函数y=f（x）的图象上的点，由于函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以（0，1）也在函数y=f（x）的图象上，得出f（0）=1．
向左平移一个长度单位后，函数解析式设为y=g（x）=f（x+1），则可知g（-1）=1，又y=g（x）仍关于直线y=x对称，所以有g（1）=-1，根据图象平移的关系，又得出f（2）=-1．
依此类推，继续得出：
f（-1）=2，g（-2）=2，g（2）=-2；
f（3）=-2，f（-2）=3，g（-3）=3，g（3）=-3；
f（4）=-3
…
归纳得出g（a）=-a，
f（a+1）=-a
f（2011）=-2010
故选A．