Question

（理科做）已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a≥0）．
（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性求出最值，判断出最值的符号，然后分区间讨论可得到零点的个数．
（2）方法一：对参数a进行讨论，然后利用导数f′（x）≤0（注意函数的定义域）来解答，方法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间（1，+∞）比较，即只需要（1，+∞）⊆A即可解答参数的取值范围；
方法二是要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞）
∴       …（2分）
令f′（x）=0，即=0，解得或x=1．∵x＞0，
∴舍去．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-12+1=0．
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
∴函数f（x）只有一个零点．             …（7分）
（2）显然函数f（x）=lnx-a2x2+ax的定义域为是（0，+∞）
∴=…（8分）
1当a=0时，，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意   …（9分）
2 当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）≥0（x＞0），即
此时f（x）的单调递减区间为[，+∞）．
依题意，得，解之得a≥1．  …（11分）
综上，实数a的取值范围是[1，+∞） …（14分）
法二：
①当a=0时，，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意…（9分）
②当a≠0时，要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，只需f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立，
∵x＞0，∴只要2a2x2-ax-1≥0，且a＞0时恒成立，
∴解得a≥1
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）  …（14分）