Question

已知函数f（x）=ax-1nx，若f（x）＞1在区间（1，+∞）内恒成立，则实数a的范围为    ．

Answer

根据题意，将不等式f（x）＞1转化为a＞，在区间（1，+∞）内恒成立．令F（x）=，利用导数研究函数F（x）的单调性与极值，即可求出满足题意的实数a的取值范围．
【解析】
∵f（x）=ax-1nx，
∴f（x）＞1即ax-1nx＞1，得ax＞1nx-1
∵x＞1，∴原不等式转化为a＞
设F（x）=，得F'（x）==
∵当0＜x＜1时，F'（x）＞0；当x＞1时，F'（x）＜0
∴F（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）上为减函数
可得F（x）在（0，+∞）的极大值为F（1），也是函数在（0，+∞）的最大值
∵a＞在区间（1，+∞）内恒成立，
∴a≥F（1），即a≥1，可得实数a的范围为[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）