Question

过点（1，0）直线l交抛物线y²=4x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，抛物线的顶点是O．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）若AB中点横坐标为2，求AB的长度及l的方程．

Answer

（ⅰ）利用直线l过点（1，0），可设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x，得y2-4my-4=0，利用韦达定理得关系式，再将向量用坐标表示，即可证得；
（ⅱ） 首先可知斜率存在，可设直线l的方程为y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，根据AB中点横坐标为2，可得方程，进而可求斜率，从而可求AB的长度及l的方程．
证明：（ⅰ）设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x，得y2-4my-4=0，
∴y1y2=-4，∴，
∴=x1x2+y1y2=-3为定值；
【解析】
（ⅱ） l与X轴垂直时，AB中点横坐标不为2，
设直线l的方程为y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，
∵AB中点横坐标为2，∴，∴，
l的方程为．
|AB|=x1+x2+2=，AB的长度为6．