Question

如图椭圆的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点．作平行四边形OCED，E恰在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为，求椭圆的方程．

Answer

（I）根据题意可知AB的斜率，进而根据点斜式表示出直线CD的方程，代入椭圆方程，进而可表示出CD的中点的坐标，则E点的坐标可得，代入椭圆方程即可求得a和c的关系式求得离心率e．
（II）先设直线CD的方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得c值，从而解决问题．
【解析】
（Ⅰ）∵焦点为F（c，0），AB斜率为，故CD方程为y=（x-c）．与椭圆联立后消去y得2x2-2cx-b2=0．
∵CD的中点为G（，-），点E（c，-）在椭圆上，
∴将E（c，-）代入椭圆方程并整理得2c2=a2，
∴e=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD的方程为y=（x-c），b=c，a=c．
与椭圆联立消去y得2x2-2cx-c2=0．
∵平行四边形OCED的面积为：
S=c|yC-yD|=c
=c，
∴c=，a=2，b=．
故椭圆方程为．