Question

（理）已知平面内动点P（x，y）到定点与定直线l：的距离之比是常数．
（ I）求动点P的轨迹C及其方程；
（ II）求过点Q（2，1）且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程．

Answer

（ I）利用双曲线定义，可知到定点与定直线l：的距离之比是常数的点的轨迹为双曲线，在利用求双曲线方程的方法去解即可．
（ II）与双曲线C有且仅有一个公共点的直线有两种，一种是与双曲线相切，一种是平行渐近线，分两种情况考虑即可．
【解析】
（ I）∵，
∴轨迹C为以F为右焦点，l为右准线的双曲线．
设双曲线C方程为，则，
∴a2=4．
∴b2=c2-a2=5-4=1．
∴双曲线方程为．
（Ⅱ）（1）若所求直线斜率不存在时，直线x=2满足题意．
（2）若所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y-1=k（x-2），
代入曲线方程，得：，
化简得：（1-4k2）x2+8k（2k-1）x-4（2k-1）2-4=0，
①当（1-4k2）=0时，即时，
∵（2，1）在渐近线上，∴时不适合，舍去.时，直线平行于渐近线，满足题意，
故所求直线方程为，即．
②当（1-4k2）≠0时，由△=64k2（2k-1）2-16（4k2-1）（4k2-4k+2）=0，
得（舍去），综上所述，所求直线方程为．