Question

已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤（x²+1）对一切实数x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表达式；
（3）证明：+…+＞2．

Answer

（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系数法求函数的解析式．（3）利用放缩法证明不等式．
【解析】
（1）因为x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．
所以当x=1时，有1≤f（1）≤（1+1）=1，
所以f（1）=1．
（2）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，a≠0，
因为f（1）=1，f（-1）=0，
所以a+c=b=．
因为f（x）≥x对一切实数x恒成立，
即ax2+（b-1）x+c≥0，所以必有，解得a＞0，ac，所以c＞0．
因为，当且仅当a=c=取等号，
所以．
（3）因为，
所以+…+＞．
故不等式+…+＞2成立．