Question

已知（）ⁿ（n∈N^*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1
（I）求展开式中各项系数的和；
（Ⅱ）求展开式中含x的项；
（Ⅲ）求二项式系数最大项和展开式中系数最大的项．

Answer

（I）由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1，求得n=8．再令x=1得各项系数的和．
（II）在通项公式中，令x的幂指数为，求得r的值，即可得到展开式中含  的项．
（III）设第r+1项的系数绝对值最大，由，解得5≤r≤6，由此可得二项式系数最大项和展开式中系数最大的项．
【解析】
（I）由题可知，第5项系数为：Cn4•（-2）4，
第3项系数为Cn2•（-2）2，∴Cn4•（-2）4=10Cn2•（-2）2，∴n=8．
 令x=1得各项系数的和为：（1-2）8=1．
（II）通项为：Tr+1=C8r•（）8-r•（-）r=C8r•（-2）r•，
令，∴r=1，∴展开式中含  的项为T2=-16．
（III）设第r+1项的系数绝对值最大，则有 ，解得5≤r≤6，
∴系数最大的项为T7=1792•
由n=8知第5项二项式系数最大T5=•（-2）4•x-6=1120•．