Question

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer

（I）由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况，一是只有甲输，二是只有乙输，三是只有丙输，四是三个人都赢，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果．
（II）由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，变量等于2使得概率可以用1减去其他的概率得到，写出分布列，算出期望．
【解析】
（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
∵甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5
可以得到D，E，F的对立事件的概率分别为0.4，0，5，0.5
红队至少两名队员获胜包括四种情况：DE，DF，，DEF，
这四种情况是互斥的，
∴P=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55
（II）由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=0.4×0.5×0.5=0.1．，
P（ξ=1）=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35
P（ξ=3）=0.6×0.5×0.5=0.15
P（ξ=2）=1-0.1-0.35-0.15=0.4
∴ξ的分布列是

∴Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6