Question

九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a₉次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用a_n表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用b_n表示前（n-1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a₁=1，a₂=2，a_n=a_n-2+1+b_n-1，b₁=1，b_n=2b_n-1+1．
（1）求b_n的表达式；
（2）求a₉的值，并求出a_n的表达式；
（3）求证：．

Answer

（1）由bn=2bn-1+1．可得bn+1=2（bn-1+1），又b1+1=2，可得数列{bn+1}是等比数列，即可得出；
（2）利用（1）及已知可得：，递推下去即可得出a9．
当n是偶数时，
=…==2n-1+2n-3+…+23+2，
当n是奇数时，=…==2n-1+2n-3+…+22+1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）利用放缩法可得：当n∈N*时，=，即可得出．
【解析】
（1）由bn=2bn-1+1．可得bn+1=2（bn-1+1），又b1+1=2，
∴数列{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，得．
（2）由已知，
∴+28+26+24==341．
当n是偶数时，
=…=
=2n-1+2n-3+…+23+2
==．
当n是奇数时，
=…=
=2n-1+2n-3+…+22+1
=．
综上所述：．
（3）当n为偶数时，，当n为奇数时，．
∴当n∈N*时，=，
∴…+=．