Question

设f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）为其导数，如图是y=x•f′（x）图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别为（ ）

A．f（1）与f（-1）
B．f（-1）与f（1）
C．f（2）与f（-2）
D．f（-2）与f（2）

Answer

依题意，f′（x）=3ax2+2bx+c，于是y=g（x）=x•f′（x）=3ax3+2bx2+cx，由⇒b=0，c=-12a，从而可求得g（x）=3ax3-12ax，由图知a＞0，继而可求f（x）的极大值与极小值．
【解析】
∵f′（x）=3ax2+2bx+c，
∴y=g（x）=x•f′（x）=3ax3+2bx2+cx，
由图可知，，即，
解得b=0，c=-12a．
∴g（x）=3ax3-12ax，由g′（x）=9ax2-12a＞0，结合图象可知，a＞0．
∴f（x）=ax3-12ax+d，
f′（x）=3ax2-12a=3a（x+2）（x-2），由f′（x）=0得x=-2或x=2；
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；
令f′（x）＜0得-2＜x＜2；
∴当x=-2时，f（x）取到极大值，当x=2时，f（x）取到极小值．
故选D．