(Ⅰ)取PD的中点E,由M为PA的中点,N为BC的中点,能够导出四边形MNCE是平行四边形,由此能够证明MN∥平面PCD.
(Ⅱ)作AF⊥AD,交BC于F,分别以AF,AD,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,由此利用向量法能够证明二面角A-PD-C的大小.
(Ⅰ)证明:取PD的中点E,
∵M为PA的中点,N为BC的中点,
∴ME,NC,
∴MENC,
∴四边形MNCE是平行四边形,
∴MN∥EC,
∵MN⊄平面PCD,EC⊂平面PCD,
∴MN∥平面PCD.
(Ⅱ)【解析】
作AF⊥AD,交BC于F,
分别以AF,AD,AP为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),BP(0,0,2),C(),D(0,1,0),
,,
,,
设平面PAD的一个法向量为,
则=0,=0,
∴,∴=(1,0,0),
设平面PCD的法向量=(x1,y1,z1),
则=0,=0,
∴,
∴,
∴cos<>==.
∴二面角A-PD-C的大小为arccos.