Question

已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用条件2b=2，=，求出a，b，c即可求出椭圆方程；
（2）先把直线方程和椭圆方程联立消去y，对应判别式大于0，找到一个关于k的不等式．再求出向量OP，OQ，AB的坐标，利用向量共线求出k的值，看是否满足判别式大于0即可下结论．
【解析】
（1）由已知得⇒
故椭圆方程是=1（4分）
（2）由已知条件，直线l：y=kx+，代入椭圆方程得=1．
整理得kx+1=0①
由已知得-2＞0，解得k＜-或k＞．（6分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
由方程①，x1+x2=-． ②
又y1+y2=k（x1+x2）+2． ③
而，B（0，1），，
所以共线等价于x1+x2=-，
将②③代入上式，解得k=，（10分）
又k＜-或k＞，
故没有符合题意的常数k．（12分）