Question

下列命题中：
①在△ABC中，A＞B⇒sinA＞sinB
②若0＜x＜，则sinx＜x＜tanx
③函数f（x）=4^x+4^-x+2^x+2^-x，x∈[0，1]的值域为
④数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n=3ⁿ+1，则{a_n}为等比数列
正确的命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①由正弦定理得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B；②设f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，0＜x＜，求导，利用导数研究它们的单调性，即可证出sinx＜x＜tanx正确；③利用换元法：令2x+2-x=t，则利于二次函数在闭区间上的最值得到值域；④利用n≥2时，an=Sn-Sn-1，验证n=1时成立，利用等比数列的定义，即可得到结论．
【解析】
①由正弦定理得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，故①正确．
②设f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，0＜x＜
则f'（x）=1-cosx，g'（x）=-1
因为0＜x＜，所以0＜cosx＜1，
即f'（x）＞0，g'（x）＞0
所以f（x），g（x）在（0，）区间上是递增的，即f（x）=x-sinx＞f（0）=0，即x＞sinx
g（x）=tanx-x＞g（0）=0即tanx＞x
所以sinx＜x＜tanx．故②正确；
③函数y=4x+4-x+2x+2-x，x∈[0，1]，
设2x+2-x=t，则4x+4-x=t2-2，
∵x∈[0，1]，t∈[2，]，
故y=t2-2+t=（t+）2-∈，故③正确；
④当n=1时，a1=S1=31+1=4．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n+1）-（3n-1+1）=3n-3n-1=2×3n-1．
又当n=1时，2×3n-1=2×31-1=2≠a1，
∴{an}不是等比数列．故④错．
故选C．