Question

已知数列{ a_n}、{ b_n}满足：．
（1）求a₂，a₃；
（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a_n}和{ b_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数λ为何值时4λS_n＜b_n恒成立．

Answer

（1）由给出的，循环代入an+bn=1和可求解a2，a3；
（2）由an+bn=1得an+1+bn+1=1，结合，去掉bn与bn+1得到an+1与an的关系式，整理变形后可证得数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列{an}和{ bn}的通项公式；
（3）首先利用裂项求和求出Sn，代入4λSn＜bn，通过对λ分类讨论，结合二次函数的最值求使4λSn＜bn恒成立的实数λ的值．
（1）【解析】
∵，∴，，
，，．
∴；
（2）证明：由，
∴=，
∴，即an-an+1=anan+1，
∴
∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．
∴，则，
∴；
（3）【解析】
由，
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=
=
=．
∴，
要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ-1）n2+（3λ-6）n-8＜0恒成立，
设f（n）=（λ-1）n2+3（λ-2）n-8
当λ=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，
当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，
当λ＜l时，对称轴n=
f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．
只需f（1）=（λ-1）n2+（3λ-6）n-8=（λ-1）+（3λ-6）-8=4λ-15＜0
∴，∴λ≤1时4λSn＜bn恒成立．
综上知：λ≤1时，4λSn＜bn恒成立．