Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=n （3-b_n），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer

（1）利用数列中an与 Sn关系解决．
（2）结合（1）所求得出bn+1-bn=．利用累加法求bn
（3）由上求出cn=n （3-bn）=，利用错位相消法求和即可．
【解析】
（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．
因为Sn=2-an，即an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2．
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0，即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an．
因为an≠0，所以=（ n∈N*）．
所以数列{an}是首项a1=1，公比为的等比数列，an=（ n∈N*）．
（2）因为bn+1=bn+an（ n=1，2，3，…），所以bn+1-bn=．从而有b2-b1=1，b3-b2=，b4-b3=，…，bn-bn-1=（ n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得bn-b1=1+++…+==2-．
又因为b1=1，所以bn=3-（ n=1，2，3，…）．
（3）因为cn=n （3-bn）=，
所以Tn=．   ①
=．       ②
①-②，得=-．
故Tn=-=8--=8-（ n=1，2，3，…）．