Question

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a，b的值；        
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）由f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出方程可得a，b值；
（2）由（1）知f（x）==-，利用单调性定义可作出判断；
（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），根据单调性可去掉符号“f”，转化为函数最值解决即可；
【解析】
（1）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（0）=0，即=0，解得b=1，
由f（-1）=-f（1），得，解得a=2，
所以a=2，b=1；
（2）f（x）为R上的奇函数，证明如下：
由（1）知f（x）==-，
设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=，
因为x1＜x2，所以＞0，，+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）为减函数；
（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0可化为f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），
又由（2）知f（x）为减函数，所以t2-2t＞k-2t2，即3t2-2t＞k恒成立，
而3t2-2t=3-，
所以k＜．