Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式{a_n}；
（Ⅱ）令，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小的正整数n．

Answer

（Ⅰ）设出等比数列{an}的公比为q，根据等比数列的通项公式及等差数列的性质分别化简已知的两条件，得到一个方程组，化简后即可求出a1和q的值，写出数列an的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的数列an的通项公式代入，利用对数函数的性质化简，确定出bn的通项公式，列举出数列{bn}各项的和的相反数设为Tn，记作①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，①-②即可求出-Tn，即为Sn，把求出的Sn代入已知的不等式中化简，即可求出满足题意的最小的正整数n的值．
【解析】
（Ⅰ）设an的公比为q，由已知，
得⇒⇒⇒，
∴an=a1qn-1=2n；（5分）
（Ⅱ），
设Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
则2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，②
①-②得：-Tn=（2+22+…+2n）-n×2n+1=-（n-1）×2n+1-2，
∴Sn=-Tn=-（n-1）×2n+1-2（10分）
故Sn+n•2n+1＞50⇔-（n-1）×2n+1-2+n×2n+1＞50，
⇒2n＞26，
∴满足不等式的最小的正整数n为5．（12分）