Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-．

Answer

（Ⅰ）由题意知a1=a，Sn=a（Sn-an+1），Sn-1=a（Sn-1-an-1+1），由此可知an=a•an-1，，所以an=a•an-1=an．
（Ⅱ）由题意知a≠1，，，由此可解得．
（Ⅲ）证明：由题意知，所以=，由此可知Tn＞2n-．
【解析】
（Ⅰ）S1=a（S1-a1+1）
∴a1=a，．（1分）
当n≥2时，Sn=a（Sn-an+1），Sn-1=a（Sn-1-an-1+1），
两式相减得：an=a•an-1，
（a≠0，n≥2）即{an}是等比数列．
∴an=a•an-1=an；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1，
，，
若{bn}为等比数列，则有b22=b1b3，
而b1=2a2，b2=a3（2a+1），b3=a4（2a2+a+1）（6分）
故[a3（2a+1）]2=2a2•a4（2a2+a+1），解得，（7分）
再将a=代入得bn=（）n成立，所以a=．（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，
所以==（10分）
所以
Tn=c1+c2++cn+（2-）
=（12分）