Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用五点作图法做出f（x）的图象
（3）说明y=f（x）的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到？
（4）求函数的单调递减区间
（5）当，求f（x）的值域．

Answer

（1）直接求出函数的周期T，A以及ω，通过函数经过的特殊点求出φ，得到函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，通过列表，描点，连线画出函数的图象．
（3）利用图象平移的规律：左加右减，加减的单位是自变量x的变化的单位；图象伸缩变换的规律：横坐标变为坐标系x乘的数的倒数；纵坐标变为三角函数前面乘的数倍．
（4）找出正弦函数的一个递减区间，令2x+属于这个区间列出关于x的不等式，再由x的范围求出不等式的解集，即为函数的单调递减区间．
（5）根据x的范围，求出2x+的范围，然后求出函数值的范围．
【解析】
（1）由题意可知，T=，A=2，ω=，
∵，∴φ=+2kπ，k∈Z，∵
∴φ=
所以函数：f（x）=2sin（2x+）．
（2）f（x）=2sin（2x+）．
列表

（3）将由y=sinx的图象向左平移 ，得到函数y=sin（x+）
再横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标不变得到函数y=sin（2x+）
再横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到y=2sin（2x+）．
（4）∵正弦函数的单调递减区间为[2kπ-，2kπ-]，
∴2kπ-≤2x+≤-+2kπ，
解得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z；
（5）当，2x+∈，2sin（2x+）∈[-1，2]，所以f（x）的值域为：[-1，2]．