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如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列命题 ①过M...

如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行.
其中真命题是( )
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A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
点M不在这两异面直线中的任何一条上,所以,过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交,①正确. ②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直,正确. 过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交,③不正确. ④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行,正确. 【解析】 直线AB与B1C1 是两条互相垂直的异面直线,点M不在这两异面直线中的任何一条上,如图所示: 取C1C的中点N,则MN∥AB,且 MN=AB,设BN 与B1C1交于H,则点 A、B、M、N、H 共面, 直线HM必与AB直线相交于某点O. 所以,过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交;故①正确. 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直,此垂线就是棱DD1,故②正确. 过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交,故 ③不正确. 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行,此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面,故④正确. 综上,①②④正确,③不正确, 故选  C.
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