Question

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=，求△ABC周长的取值范围．

Answer

（I）由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；
（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．
【解析】
（I）∵cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB，
∴1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sinAsinB，
∴sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB，
∴a2+b2-c2=-ab，
∴=，
又0＜C＜π，∴．
（2）∵，∴a=2sinA，b=2sinB，
则△ABC的周长L=a+b+c=2（sinA+sinB）+=2（sinA+）+=，
∵，，
∴，即，
∴△ABC周长的取值范围是．