Question

对负实数a，数4a+3，7a+7，a²+8a+3依次成等差数列
（1）求a的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1=aⁿ⁺¹-2a_n（n∈N₊），a₁=m，求a_n的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若对任意n∈N₊，不等式a_2n+1＜a_2n-1恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）因为4a+3，7a+7，a2+8a+3依次成等差数列，所以7a+7-（4a+3）=a2+8a+3-（ 7a+7 ），从而可构建一元二次方程a2-2a-8=0，故可求a的值；
（2）an+1=（-2）n+1-2an（n∈N+），两边同除以（-2）n+1得：，所以{}是以为首项，d=1为公差的等差数列，故可求an的通项公式；
（3）由于对任意n∈N+，不等式a2n+1＜a2n-1恒成立，利用（2）的结论可得，从而得解．
【解析】
（1）因为4a+3，7a+7，a2+8a+3依次成等差数列，
所以7a+7-（4a+3）=a2+8a+3-（ 7a+7 ），
化简成一个一元二次方程a2-2a-8=0∴a=4或者a=-2
∵a＜0，∴a=-2；
（2）∵an+1=（-2）n+1-2an（n∈N+），
∴两边同除以（-2）n+1得：
所以{}是以为首项，d=1为公差的等差数列
∴；
（3）∵对任意n∈N+，不等式a2n+1＜a2n-1恒成立
∴
∴