Question

已知函数．
（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）令t=log4x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，利用二次函数的图象分析出函数的最值，即可得到函数的值域；
（2）令t=log4x，则可将已知问题转化为2t2-3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，即对t∈[1，2]恒成立，求出不等号右边式子的最小值即可得到答案．
【解析】
（1），

此时，，
当t=时，y取最小值，
当t=或1时，y取最大值0，
∴
（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，
令t=log4x，
即2t2-3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，
∴对t∈[1，2]恒成立
易知在t∈[1，2]上单调递增
∴g（t）min=g（1）=0，
∴m≤0．