Question

已知f（x）=x²-2ax+5（a＞1）
（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求a的取值范围．

Answer

（I）由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减，列出方程组即可求得a值；
（II）先由f（x）在区间（-∞，2]上是减函数得a≥2，当f（x1）、f（x2）分别是函数f（x）的最小值与最大值时不等式恒成立．从而函数在区间[1，a+1]上的最小值是f（a）=5-a2得出函数的最大值是f（1）最后结合|f（x1）-f（x2）|≤4知（6-2a）-（5-a2）≤4，解得a的取值范围即可．
【解析】
f（x）=（x-a）2+5-a2
（I）．由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减，
故，解可得a=2
（II）由f（x）在区间（-∞，2]上是减函数得a≥2，
当f（x1）、f（x2）分别是函数f（x）的最小值与最大值时不等式恒成立．
故函数在区间[1，a+1]上的最小值是f（a）=5-a2，
又因为a-1≥（a+1）-a，所以函数的最大值是f（1）=6-2a，
由|f（x1）-f（x2）|≤4知（6-2a）-（5-a2）≤4，解得2≤a≤3．