Question

如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点（N，M）在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，
（1）按下列要求写出函数的关系式：
 ①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；
 ②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．

Answer

（ 1） ①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；
     ②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；
（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．
【解析】
（1）①因为ON=，OM=，所以MN=，（2分）
所以y=x（）   x∈（0，）．（4分）
②因为PN=sinθ，ON=，OM=，
所以MN=ON-OM=（6分）
所以y=sinθ，
即y=3sinθcosθ-sin2θ，θ∈（0，）（8分）
（2）选择y=3sinθcosθ-sin2θ=sin（2θ+）-，（12分）
∵θ∈（0，）∴（13分）
所以．（14分）