Question

（文）定义在R上函数f（x）对任意实数x、y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）如果对任意实数x、y有f（x²）•f（y²）≤f（axy）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）令x=0，y=-1，可求得f （0）=1，再令x＞0得-x＜0，利用已知当x＜0时，f（x）＞1即可证得x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）设x1、x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，作差f （x2）-f （x1）=f[x1+（x2-x1）]-f （x1）=[f （x2-x1）-1]f （x1）结合题意，判断其符号即可；
（3）依题意，f（x2）•f（y2）≤f（axy）恒成立，函数f（x）为减函数⇔x2+y2≥axy 对任意实数x、y恒成立⇔|a|≤||+||对任意实数x、y恒成立，由基本不等式即可求实数a的取值范围．
证明：（1）令x=0，y=-1则f （0-1）=f （0）•f （-1）（∵f （-1）≠0）⇒f （0）=1         …（2分）
当 x＜0时，f （x）＞1＞0，
当 x＞0时，-x＜0
∴f （-x）＞1＞0，又f （0）=f （-x）•f （x）=1，
∴0＜f （x）=＜1，即对任意x＞0，恒有0＜f （x）＜1                                  …（5分）
（2）f （x）在R上是减函数                                          …（7分）
证明：设x1、x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2；
f （x2）-f （x1）=f[x1+（x2-x1）]-f （x1）
=f （x2-x1）•f （x1）-f （x1）=[f （x2-x1）-1]f （x1），
∵x2-x1＞0，
∴f （x2-x1）＜1，
∴f （x2）-f （x1）＜0，
∴[f （x2-x1）-1]f （x1）＜0，
∴f （x）在（-∞，+∞）上是减函数．                          …（10分）
（3）∵f （x2）•f （y2）=f （x2+y2）≤f （axy），
∴x2+y2≥axy 对任意实数x、y恒成立，
即x2+y2≥|axy|=|a||x||y|对任意实数x、y恒成立，
∴|a|≤||+||对任意实数x、y恒成立，
∴|a|≤2，即-2≤a≤2为所求．…（14分）