Question

已知正数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=，数列{b_n}是首项为1，公比为的等比数列．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c=a_nb_n，求：数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）求证：．

Answer

（1）利用即可得出an；利用等比数列的通项公式即可得出bn；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用“放缩法”和“裂项求和”即可得出．
【解析】
（1）由，
当n=1时，，∴a1=1，
当，
∴，
即（an+an+1）（an-an-1-2）=0，∵an＞0，
∴数列{an}是a1=1，d=2的等差数列
∴an=a1+（n-1）d=2n-1．
∵数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
∴=．
（2）cn=anbn=，Tn=c1+c2+…+cn
，①
，②
①-②得=1+1++…+=-1-=3--，
∴
（3）∵=n2，
当n≥2，，
∴
===．