Question

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：EF∥面PAD；
（2）证明：面PDC⊥面PAD．

Answer

（1）证明EF∥面PAD，可用线面平行的判定定理，由题设及图，可先证明EF∥AP再由线面平行的判定定理证明；
（2）证明面PDC⊥面PAD，由判定定理知要先证明线面垂直，由题设及图知，可先证AP⊥面PCD，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直．
【解析】
（1）如图，连接AC，
∵ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必经过F．（2分）
又E是PC的中点，
所以，EF∥AP．（4分）
∵EF在面PAD外，PA在面内，
∴EF∥面PAD（6分）
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴CD⊥面PAD，（8分）
又AP⊂面PAD，
∴AP⊥CD．（9分）
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD．（11分）
又AD⊂面PAD，所以，面PDC⊥面PAD．（12分）