Question

已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，；
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并给出证明．

Answer

（1）当-1＜x＜0时，，再由f（0）=0，能求出f（x）在（-1，1）上的解析式．
（2）函数f（x）在区间（-1，0）上为单调减函数．利用定义法进行证明即可．
【解析】
（1）∵f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，
当x∈（0，1）时，；
∴当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，，
又∵f（0）=0，
∴…（6分）
（2）函数f（x）在区间（-1，0）上为单调减函数．
证明如下：
设x1，x2是区间（0，1）上的任意两个实数，且x1＜x2，
则…（8分）
=，
因为，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以函数f（x）在区间（-1，0）上为单调减函数．…（12分）