Question

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为    ．

Answer

设直线AB的方程为y=（x-c），与双曲线方程消去x并化简得（-a2）y2+b2cy+b4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系得到y1+y2=，y1y2=．由于，得到y1=-4y2代入上式消去y2得关于a、b、c的等式，结合b2=c2-a2解之得c=，再结合双曲线的离心率公式即可算出题中双曲线C的离心率．
【解析】
∵直线AB过点F（c，0），且斜率为
∴直线AB的方程为y=（x-c）
与双曲线消去x，得（-a2）y2+b2cy+b4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴y1+y2=，y1y2=
∵，可得y1=-4y2
∴代入上式得-3y2=，-4y22=
消去y2并化简整理，得
将b2=c2-a2代入化简，得，解之得c=
因此，该双曲线的离心率e=
故答案为：