Question

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（I）求矩形ABCD外接圆的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆有公共点，求直线的倾斜角的范围．

Answer

（I）根据AD⊥AB算出AD的斜率为-3，利用点斜式方程列式，得到AD边所在直线的方程为3x+y+2=0，将AD、AB方程联解得到A（0，-2）．求出矩形ABCD的对角线交点M（2，0）即为外接圆圆心，利用圆的标准方程即可得到外接圆的方程为（x-2）2+y2=8；
（II）由直线方程的点斜式，设直线l：y=k（x+2），利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，解之得-1≤k≤1，结合斜率与倾斜角之间的关系即可算出直线的倾斜角的范围．
【解析】
（I）∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD⊥AB，
∴直线AD的斜率为-3．…（2分）
又∵点T（-1，1）在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．
化简，得3x+y+2=0．…（4分）
由联解，得A坐标为（0，-2），…（6分）
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．
∴M（2，0）为矩形ABCD外接圆的圆心．
而|AM|=．
∴矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）2+y2=8．…（10分）
（II）由直线l经过点N（-2，0），设直线l：y=k（x+2），
∵直线l与矩形ABCD的外接圆有公共点
∴点M（2，0）与直线l的距离小于或等于半径
即，解之得k2≤1，即-1≤k≤1
∴直线的倾斜角的范围为[0，]∪[，π）…（14分）