Question

已知直线l：y=x+k经过椭圆的右焦点F₂，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F₁，试求椭圆C的方程．

Answer

由题意知椭圆焦距c=1，F2（1，0），代入y=x+k，得k=-1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用垂直关系即可求得a值，由此能求出椭圆方程．
【解析】
设椭圆焦距为2c，则…（1分）
∴F2（1，0），代入y=x+k  得k=-1
将y=x-1代入椭圆方程整理得：（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0…（4分）
∵A、B点在直线l上，设A（x1，x1-1），B（x2，x2-1）
∵AF1⊥BF1  又F1（-1，0）
∴…（8分）  
由韦达定理，
解得…（10分）
∴
∴为所求方程．…（14分）