Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，PA=2，且平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的正切值；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正切值．

Answer

（I）过点P作PO⊥AB于O，连接OC，可得∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角，从而可求直线PC与平面ABC所成的角的正切值；
（Ⅱ）过C作CD⊥AB于D，过点D作DE⊥PA于E，连接CE，∠CED为二面角B---AP---C的平面角，则可求二面角B-AP-C的正切值．
【解析】
（Ⅰ）过点P作PO⊥AB于O，连接OC．
由平面PAB⊥平面ABC，知PO⊥平面ABC，
即∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．…（2分）
因为∠APB=90°，∠PAB=60°，
不妨设PA=2，则OP=，AO=1，AB=4．
因为AB=BC=CA，所以∠CAB=60°，
所以OC=．
在Rt△OCP中，tan．
即直线PC与平面ABC所成的角的正切值为．…（6分）
（II）过C作CD⊥AB于D，由平面PAB⊥平面ABC，知CD⊥平面PAB．
过点D作DE⊥PA于E，连接CE，据三垂线定理可知CE⊥PA，
所以，∠CED为二面角B---AP---C的平面角．…（9分）
由（1）知AB=4，又∠APB=90°，∠PAB=60°，
所以CD=，DE=．
在Rt△CDE中，tan
故二面角B-AP-C的正切值为2…（13分）