Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n．
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由an=Sn-Sn-1（n≥2），化简已知等式得到-=2，从而数列{}构成公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式加以计算，即可得到Sn的表达式；
（2）由（1）的结论，得到，因此利用错位相减法并结合等比数列的求和公式，化简整理后可得．
解 （1）∵Sn2=an，an=Sn-Sn-1（n≥2），
∴Sn2=（Sn-Sn-1），
即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn，…①
由题意Sn-1•Sn≠0，
将①式两边同除以Sn-1•Sn，得-=2，
∴数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列．
可得=1+2（n-1）=2n-1，得Sn=；
（2）由（1）得=2n-1，
∴
因此，
两边都乘以2，得
两式相减，得（2n-1）•2n+1=2+8（2n-1-1）-（2n-1）•2n+1
∴Tn=（2n-1）•2n+1+6-2•2n+1
化简得．