Question

如图，已知圆C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上．
（Ⅰ）当r=2时，求满足条件的P点的坐标；
（Ⅱ）当r∈（1，+∞）时，求点N的轨迹G的方程；
（Ⅲ）过点P（0，2）的直线l与（Ⅱ）中轨迹G相交于两个不同的点E、F，若，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（1）由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为（-1，0），设N（x，y）联立方程可解得MN的中点P坐标；
（2）设N（x，y）由已知得，先利用圆方程求得M点的坐标，再设P（0，b），得：r=b2+1．利用圆的方程与x+1-r=0消去r，即可得出点N的轨迹方程；
（3）设直线l的方程为y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积公式即可求得k值范围，从而解决问题．
【解析】
（1）：由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为（-1，0），
设N（x，y）则解得N（1，±2）．
所以MN的中点P坐标为（0，±1）．
（2）：设N（x，y）由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为（1-r，0）．
设P（0，b），则由kCPkmp=-1（或用勾股定理）得：r=b2+1．
则，消去r，
又r＞1，所以点N的轨迹方程为y2=4x（x≠0）．
（3）设直线l的方程为y=kx+2，M（x1，x2），N（x2，y2），
消去y得k2x2+（4k-4）x+4=0，因为直线l与抛物线y2=4x（x＞0）相交于两个不同的点M，N，
所以△=-32k+16＞0，所以，
又因为，所以（x1-1）（x2-1）+y1y2＞0，
所以（k2+1）x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5＞0，得k2+12k＞0，
所以k＞0或k＜-12，
综上可得．