Question

已知函数f（x）=2^x-．
（1）若f（x）=2+，求x的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由题意可得 2x-=2+，即 22x -2•2x-3=0，解得 2x 的值，可得x的值．
（2）函数f（x）的定义域为R，任意取x2＞x1，化简f（x2）-f（x1）的解析式，可得它的符号为正号，
即 f（x2）＞f（x1），可得函数f（x）在R上是增函数．
（3）当t∈[1，2]，由题意可得m≥-（4t+1）．求得-（4t+1）的最大值为-5，从而求得m的范围．
【解析】
（1）∵f（x）=2x-=2+，∴22x -2•2x-3=0，解得 2x=3，或 2x=-1 （舍去），
故 x=log23．
（2）函数f（x）的定义域为R，任意取x2＞x1，则 f（x2）-f（x1）=-（）=（）（1+）．
由题设可得，（）＞0，（1+）＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，即 f（x2）＞f（x1），
故函数f（x）在R上是增函数．
（3）当t∈[1，2]，2tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，即2t（22t-）+m（2t-）≥0．
由于＞0，∴2t（2t+）+m≥0，故 m≥-（4t+1）．
由于-（4t+1）的最大值为-5，故有m≥-5，即m的范围是[-5，+∞）．