Question

函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x）成立．当x∈[0，1]时，f（x）=log_a（2-x）（a＞1）．
（1）当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，求f（x）的表达式；
（2）若f（x）的最大值为，解关于x的不等式．

Answer

（1）由f（x+2）=f（x）可得2是f（x）周期，当x∈[2k-1，2k]时，x-2k∈[-1，0），代入可得f（x）=loga[2+（x-2k）]；当x∈[2k，2k+1]（k∈Z）时，x-2k∈[0，1]，代入可得f（x）=f（x-2k）=loga[2-（x-2k）]．
（2）f（x）的最大值为，求出a=4，再求x∈[-1，1时的解集，利用周期为2，可得不等式的解集．．
【解析】
（1）当x∈[-1，0）时，f（x）=f（-x）=loga[2-（-x）]=loga（2+x）．
当x∈[2k-1，2k）（k∈Z）时，x-2k∈[-1，0），f（x）=f（x-2k）=loga[2+（x-2k）]．
当x∈[2k，2k+1]（k∈Z）时，x-2k∈[0，1]，f（x）=f（x-2k）=loga[2-（x-2k）]．
故当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，f（x）的表达式为
（2）∵f（x）是以2为周期的周期函数，且为偶函数，∴f（x）的最大值就是当x∈[0，1]时，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=loga（2-x）在[0，1]上是减函数，∴，∴a=4．
当x∈[-1，1]时，由得或
得．
∵f（x）是以2为周期的周期函数，
∴的解集为．