Question

已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

Answer

（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P=．由两点距离公式，能求出动点M的轨迹方程．
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．由A（2，0），且N为线段AM的中点，知x1=2x-2，y1=2y，由M是圆x2+y2=16上的点，知M坐标（x1，y1）满足：x12+y12=16，由此能求出点N的轨迹．
【解析】
（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合
P=．（1分）
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为，
（3分）
平方后再整理，得x2+y2=16．（5分）
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．（6分）
由于A（2，0），且N为线段AM的中点，所以，
所以有x1=2x-2，y1=2y①（8分）
由（1）题知，M是圆x2+y2=16上的点，
所以M坐标（x1，y1）满足：x12+y12=16②（9分）
将①代入②整理，得（x-1）2+y2=4．（11分）
所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（12分）