Question

已知函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（ ）
A．（，+∞）
B．（-∞，）
C．（-，-2）
D．（2，）

Answer

函数f（x）=|xex|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值 ，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（ ，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．
【解析】
f（x）=|xex|=，
当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-ex-xex=-ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xex|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e-1=，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（ ，+∞）内，
再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（ ）＜0，即（ ）2+t+1＜0，
解得：t＜-．
所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，-）．
故选B．