Question

若不等式a（2x²+y²）≥x²+2xy对任意非零实数x，y恒成立，则实数a的最小值为    ．

Answer

由题意可得：原不等式恒成立转化为不等式（2a-1）x2-2xy+ay2≥0对于任意非零实数x，y恒成立，即不等式（2a-1）（ ）2-2•+a≥0对于任意非零实数x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有关知识解决问题即可．
【解析】
由题意可得：不等式x2+2xy≤a（2x2+y2）对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x2-2xy+ay2≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（）2-2•+a≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
设t=，所以（2a-1）t2-2t+a≥0对于一切t∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
设f（t）=（2a-1）t2-2t+a，t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
①a=时，显然不符合题意，故舍去．
②当a≠时，函数的对称轴为t=，
所以由题意可得：，解得a≥1．
故答案为1．