Question

已知函数 f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意x∈[-2，-1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；
（Ⅱ）代入特殊值缩小a的范围，然后根据a的范围确定函数f（x）的导函数的符号，从而得到f（x）在[-2，-1]上的单调性，最后根据恒成立只需恒成立即可．
（Ⅰ）【解析】
当a=-1时，f（x）=-x2ex，f（1）=-e．f'（x）=-x2ex-2xex，…（2分）
因为切点为（1，-e），则k=f'（1）=-3e，…（4分）
所以在点（1，-e）处的曲线的切线方程为：y=-3ex+2e．    …（5分）
（Ⅱ）【解析】
由题意得，，即．      …（9分）
（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分）f'（x）=ex（ax2+2ax+a+1）=ex[a（x+1）2+1]，…（10分）
因为，所以f'（x）＞0恒成立，
故f（x）在[-2，-1]上单调递增，…（12分）
要使恒成立，则，解得．…（15分）