Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由题设条件，分别取n=2，3，能够得到a2，a3的值；
（2）由，知数列an+n是首项为a1+1=4，公比为2的等比数列．由此能求出{an}的通项公式；
（3）由an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+），知Sn=（22+23+24+…+2n+1）-（1+2+3+…+n），从而得到数列{an}的前n项和Sn．
（1）【解析】
∵a1=3，an=2an-1+n-2（n≥2，且n∈N+）
∴a2=2a1+2-2=6（2分）
a3=2a2+3-2=13（4分）

（2）证明：∵
∴数列an+n是首项为a1+1=4，
公比为2的等比数列．（7分）
∴an+n=4⋅2n-1=2n+1，
即an=2n+1-n
∴an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）（9分）

（3）【解析】
∵an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）
∴Sn=（22+23+24+…+2n+1）-（1+2+3+…+n）（11分）
=（13分）