Question

如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF₁F₂的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
（1）求该椭圆的标准方程．
（2）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer

（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程，焦距为2c．由题意可得a，c的关系，结合a2=b2+c2，可求a，b，c进而可求椭圆的方程；
（2）解法一：将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程：（16+25k2）x2=400
如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），表示出四边形AEBF的面积，最后利用基本不等式求S的最大值；
解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．再设y1=kx1，y2=kx2，表示出四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2，最后利用基本不等式求其最大值即可．
【解析】
（1）设椭圆的方程为，焦距为2c，
依题意有，解得
∴椭圆的方程为，（5分）
（2）解法一：由消去y，得（16+25k2）x2=400
如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，∴．①（8分）
∵直线AB的方程分别为即4x+5y-20=0，
∴点E，F到AB的距离分别为，（10分）
又，
所以四边形AEBF的面积为
===
=，
当且仅当16=25k2即时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）
解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．
设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，y2=-y1＞0，且
故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2（10分）===，
当且仅当4x2=5y2时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）