Question

已知数列a₁，a₂，…，a₃₀，其中a₁，a₂，…，a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…，a₃₀是公差为d²的等差数列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差为d³的等差数列．

Answer

（1）由题意可得a10，根据a20的值，可得d的值；（2）由a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列，利用等差数列的性质表示出a30是关于d的二次函数，根据d不等于0，利用二次函数即可求出a30的取值范围；（3）根据题意归纳出：当n=3时，a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列．
【解析】
（1）由题意可得a10=1+9=10，a20=10+10d=40，∴d=3．
（2）a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0），
a30=10[]，由二次函数的性质可知：
当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{an]，
其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，
当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列．
当n=3时，可得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列．